Question

【题目】根据下列关系式，算出数列的前4项，然后猜想它的通项，并用数学归纳法证明你的猜想.

（1）；

（2）；

（3）.

Answer 1

【答案】（1），，证明见解析； （2），，证明见解析； （3），，证明见解析.

【解析】

分别求出数列的前几项，猜测数列的通项公式，利用数学归纳法，作出证明即可.

（1）由，

令，则；令，则；令，则，

由此可猜测数列的通项公式为：，

证明如下：

①当时，，显然成立；

②假设时，结论成立，即，

则当时，，

即当时也成立，

由①②可得对都成，即，.

（2）由，

当时，，即，即；

当时，，即，即；

当时，，即，即；

猜测数列的通项公式为：，

证明如下：

①当时，，显然成立；

②假设时，结论成立，即，

则当时，，且，

两式相减可得，即，

整理得，

即当时也成立，

由①②可得对都成，即，.

（3）由，

令，可得，即，因为，则；

令，可得，即，解得；

令，可得，即，解得；

令，可得，即，解得；

猜测数列的通项公式为：.

证明如下：

①当时，，命题成立；

②假设时，结论成立，即，

则当时，

，

所以，解得，

即当时也成立，

由①②可得对都成，即，.