Question

  已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.

（1）求a,b,c的值；

（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.

Answer 1

（1）a=2,b=-4，c=5（2）y=f(x)在[-3，1]上的最大值为13，最小值为

解析:

  （1）由f（x)=x³+ax²+bx+c,

得f′(x)=3x²+2ax+b,

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0                                             ①

当x=时，y=f(x)有极值，则f′（）=0,

可得4a+3b+4=0                                                                                          ②

由①②解得a=2,b=-4.

由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.

∴1+a+b+c=4.∴c=5.

（2）由（1）可得f(x)=x³+2x²-4x+5,

∴f′(x)=3x²+4x-4,

令f′(x)=0,得x=-2,x=.

当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：

x	-3	(-3,-2)	-2	(-2,)		(,1)	1
		+	0	-	0	+
y	8	单调增递	13	单调递减		单调递增	4

∴ y=f(x)在[-3，1]上的最大值为13，最小值为