Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，△ABC的外接圆半径为R=

2

．给出条件：①c=

3

+1；②3a²=2b²；③C=75°．在①、②、③中选取两个条件（只需列出一种情况）确定△ABC，并求出△ABC的面积．

Answer 1

分析：选择①、②，由c与R的值，利用正弦定理求出sinC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，利用余弦定理列出关系式，将cosC的值及已知等式代入计算求出a与b的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：选择①、②，
∵c=

3

+1，R=

2

，由正弦定理，得sinC=

c

2R

=

3 +1

2 2

，
∴cos²C=1-sin²C=

2- 3

4

，即cosC=±

3 -1

2 2

，
（i）当cosC=

3 -1

2 2

时，由3a²=2b²及余弦定理，得（

3

+1）²=a²+（

3 a

2

）²-2a•

3 a

2

•

3 -1

2 2

，
解得a=2，b=

6

；
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×2×

6

×

3 +1

2 2

=

3+ 3

2

．…（10分）
（ii）当cosC=-

3 -1

2 2

时，由3a²=2b²及余弦定理，得（

3

+1）²=a²+（

3 a

2

）²+2a•

3 a

2

•

3 -1

2 2

，
解得：a²=

8+4 3

8- 3

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

a•

3 a

2

•sinC=

3

2 2

•

8+4 3

8- 3

•

3 +1

2 2

=

87+49 3

122

．

点评：此题考查考查联立正弦、余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．