Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°E为PA中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求证：平面PAD⊥平面PDB．

Answer 1

分析：（1）取线段AB的中点F，连接EF，DF，由题设条EF∥PB，DF∥BC．由此推导出平面EFD∥平面PBC，从而能够证明ED∥平面PBC．
（2）连接DB，由题设条件推导出BD⊥AD，BD⊥PD，从而得到BD⊥平面PAD，由此能够证明平面PAD⊥平面PDB．

解答：解：（1）取线段AB的中点F，连接EF，DF，
∵PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，E为PA中点，
∴EF∥PB，DF∥BC．
∵EF∥PB，EF?平面BPC，PB?平面BPC，∴EF∥平面BPC，
∵DF∥BC，DF?平面BPC，BC?平面BPC，∴DF∥平面BPC，
又∵DF∩EF=F，∴平面EFD∥平面PBC，
∵ED?平面PBC，
∴ED∥平面PBC．
（2）连接DB，
∵DF∥BC，PD⊥平面ABCD，∠BCD=90°，
∴∠DFA=∠CBF=90°，
∵PD=DC=BC=1，AB=2，
∴DF=AF=1，BD=

2

，AD=

2

，
∴BD⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，BD?ABCD，∴BD⊥PD，
∴BD⊥平面PAD，
∵BD?平面PDB，∴平面PAD⊥平面PDB．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．