Question

已知数列{a_n}满足：a1=

2

3

，an+1=4an+1，n∈N*
（1）令bn=an+

1

3

，证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）试求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）在已知式子的两边同时加上

1

3

可得an+1+

1

3

=4(an+

1

3

)，即b_n+1=4b_n 易证数列为等比数列；
（2）由（1）可得数列{b_n}的通项公式，进而可得an=4n-1-

1

3

，采用分别求和的方式可得结果．

解答：解：（1）∵a_n+1=4a_n+1，
∴an+1+

1

3

=4an+

4

3

，
即an+1+

1

3

=4(an+

1

3

)，即b_n+1=4b_n，
又∵b1=a1+

1

3

=1
∴数列{b_n}是以1为首项，4为公比的等比数列．
（2）由（1）可得bn=1×4n-1=4n-1，
∴an=4n-1-

1

3

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=40+41+…+4n-1-

n

3

=

40(1-4n)

1-4

-

n

3

=

1

3

4n-

1+n

3

点评：本题考查等比数列的证明，和数列的求和问题，熟练利用熟悉的知识是解决问题的关键，属中档题．