题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，椭圆短轴长为
2
15
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-
1
2
，求斜率k的值；
②若点M（-
7
3
，0），求证：
MA
•
MB
为定值．
分析：（Ⅰ）由
c
a
=
6
3
，2b=
2
15
3
及a2=b2+c2联立即可解得a2，b2值；
（Ⅱ）（1）将直线方程与椭圆方程联立消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理得x1+x2=-
6k2
3k2+1
，再由AB中点的横坐标为-
1
2
，可得关于k的方程，解出即可；
（2）利用向量数量积的坐标运算及韦达定理即可求得
MA
•
MB
为定值．
解答：解：（Ⅰ）因为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，
由
c
a
=
6
3
②，2b=
2
15
3
③．联立①②③，
解得a2=5，b2=
5
3
，
所以椭圆方程为
x2
5
+
y2
5
3
=1．
（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入
x2
5
+
y2
5
3
=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，
△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-
6k2
3k2+1
，
因为AB中点的横坐标为-
1
2
，所以-
6k2
3k2+1
=-
1
2
，解得k=±
3
3
，
（2）由（1）知x1+x2=-
6k2
3k2+1
，x1x2=
3k2-5
3k2+1
，
所以
MA
•
MB
=（x1+
7
3
，y1）（x2+
7
3
，y2）=（x1+
7
3
）（x2+
7
3
）+y1y2
=（x1+
7
3
）（x2+
7
3
）+k2（x1+1）（x2+1）
=（1+k2）x1x2+（
7
3
+k2）（x1+x2）+
49
9
+k2
=（1+k2）
3k2-5
3k2+1
+（
7
3
+k2）（-
6k2
3k2+1
）+
49
9
+k2=
4
9
；
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系及向量的数量积运算，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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