Question

棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没．然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？

Answer 1

分析：先画出过正方体对角面的截面图，设小球的半径r，通过AS=AO₁+O₁S建立等式，求出r即可求出要使流出来的水量最多时这个铁球的半径．

解答：解：过正方体对角面的截面图如图所示，设两球的交点为S
AC₁=

3

，AO=

3

，AS=AO-OS=

3

-1，
设小球的半径r，tan∠C₁AC=

2

2

．
在△AO₁D中，AO₁=

3

r，
∴AS=AO₁+O₁S，
∴

3

-1=

3

r+r．
解得：r=2-

3

（cm）为所求．
要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为2-

3

．

点评：本题考查球与多面体相切问题，解决此类问题必须做出正确的截面（即截面一定要过球心），再运用几何知识解出所求量．