Question

已知函数f（x）=log₂（

x

4

+1），数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点（n，S_n）都在f（x）的反函数图象上，又b_n=a_n-log₂a_n，{b_n}前n项和为B_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）求数列{b_n}的前n项和B_n．

Answer 1

分析：（1）先利用点（n，S_n）都在f（x）的反函数图象上即点（S_n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S_n的表达式；再利用已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式的方法即可求数列{a_n}的通项公式；  
（2）先求出数列{b_n}的通项公式，发现通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．；再利用数列求和的错位相减法即可求数列{b_n}的前n项和B_n．

解答：解：（1）由题得n=log2(

sn

4

+1)?s_n=2ⁿ⁺²-4．
n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹，
当n=1时，a₁=s₁=2³-4=4也适合上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ⁺¹；
（2）∵b_n=a_n•log2an=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴B_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹      ①
2B_n=2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²     ②
②-①得：B_n=-2³-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2³-

23(1-2n-1)

1-2

+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺²
=（n+1）•2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²
=n•2ⁿ⁺²．

点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．