Question

直线l与抛物线交于两点A、B，O为坐标原点，且

（1）求证：直线l恒过一定点；

（2）若，求直线l的斜率k的取值范围；

（3）设抛物线的焦点为F，，试问角能否等于120°？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由.

Answer 1

解：（1）若直线l与x轴不垂直，设其方程为，l与抛物线的交点坐标分别为、，由得，即，

则又由得.

则即，则直线l的方程为，

则直线l过定点（2，0）.

若直线l与x轴垂直，易得 l的方程为x=2，

则l也过定点（2，0）.  综上，直线l恒过定点（2，0）.

（2）由（1）得，可得 解得k的取值范围是

（3）假定，则有，如图，即

由（1）得. 由定义得 从而有

均代入（*）得

，即这与相矛盾.

经检验，当轴时，. 故