Question

8．已知函数f（x）=|1-x²|，在[0，1]上任取一数a，在[1，2]上任取一数b，则满足f（a）≤f（b）的概率为$\frac{6-π}{4}$．

Answer 1

分析 由题意化简f（a）≤f（b）可得$\left\{\begin{array}{l}{a≤b}\\{{a}^{2}+{b}^{2}≥2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≥b}\\{{a}^{2}+{b}^{2}≤2}\end{array}\right.$，而a∈[0，1]，b∈[1，2]，作出图形由几何概型可得．

解答 解：由题意可得f（a）≤f（b）即|1-a²|≤|1-b²|，
平方化简可得（a²-b²）（a²+b²-2）≤0
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤b}\\{{a}^{2}+{b}^{2}≥2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≥b}\\{{a}^{2}+{b}^{2}≤2}\end{array}\right.$，对应的区域如图阴影部分
而a∈[0，1]，b∈[1，2]，
图形AEB的面积s=$\frac{1}{8}$$π（\sqrt{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{π-2}{4}$，
正方形ABCD的面积为1×1=1，
故可得所求概率为P=1-$\frac{π-2}{4}$=$\frac{6-π}{4}$；
故答案为：$\frac{6-π}{4}$．

点评 本题考查几何概型，得出f（a）≤f（b）的区域是解决问题的关键，属中档题．