Question

已知函数f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0，
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e²]上值域．期中e=2.71828…是自然对数的底数．

Answer 1

分析：（I）求出函数的导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调性．
（II）由（I）所涉及的单调性来求在区间[1，e²]上的单调性，确定出函数的最值，即可求出函数的值域．

解答：解：（I）∵函数f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0
∴f′（x）=1+

2

x2

-

a

x

，x＞0
令t=

1

x

＞0
y=2t²-at+1（t≠0）
①△=a²-8≤0，即：0＜a≤2

2

，y≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②△=a²-8＞0，即：a＞2

2

，y=0有两个不等根
由2t²-at+1＞0，得t＜

a- a2-8

4

或t＞

a+ a2-8

4

，又x＞0
∴0＜x＜

a- a2-8

2

或x＜0或x＞

a+ a2-8

2

由2t²-at+1＜0，得

a- a2-8

2

＜t＜

a+ a2-8

2

∴

a- a2-8

2

＜x＜

a+ a2-8

2

综上：①0＜a≤2

2

，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
②a＞2

2

函数f（x）(0，

a- a2-8

2

)，(

a+ a2-8

2

，+∞)上是增函数，在(

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

)上是减函数，
（2）当a=3时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e²]上是增函数
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e²）=e²-

2

e2

-5＞0
∴f（x）在区间[1，e²]上值域是[2-3ln2，e²-

2

e2

-5]

点评：本题主要考查函数的单调性及值域，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究值域时一定要先确定函数的单调性才能求解．