Question

【题目】抛物线，，为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，，。

（Ⅰ）证明：是的等差中项；

（Ⅱ）若，为平行于轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）第一问，先化简得到,再根据线段的中垂线的性质得到，把这两个式子结合起来即可证明是的等差中项. (Ⅱ)第二问，先求出弦长的平方等于定值的条件，即可得到直线的方程为.

试题解析：（Ⅰ）设，由抛物线定义知

又中垂线交轴于，故

，

因为，所以，，

故

即，是的等差中项.

（Ⅱ）因为，所以。设，，

故圆心， 设直线的方程为，

由于弦长为定值，故为定值，这里R为圆的半径，d为圆心到的距离。

故

令，即时，

为定值，

故这样的直线的方程为.