Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e=

1+ 5

2

，点A与F分别是双曲线的左顶点和右焦点，B（0，b），则∠ABF等于（　　）

• A、45°
• B、60°
• C、90°
• D、120°

Answer 1

分析：由离心率能够得出b²=ac，再根据题意得出|AF|=a+c|BF|=c，|AB|²=a²+b²，进而判断BF|²+|AB|²=|AF|^{2_{，从而得出}}
∠ABF等于90°．

解答：解：由题意知因为e=

c

a

=

1+ 5

2

∴

c2

a2

=

6+2 5

4

=

a2+b2

a2

=1+

b2

a2

∴

b2

a2

=

1+ 5

2

=

c

a

∴b²=ac
∵|AF|=a+c|BF|=c，在直角三角形BOF中易得|BF|²=c²+b²
∴|AF|²=a²+2ac+c²|AB|²=a²+b² 
又∵上面推出b^2=ac，
故|BF|²=c²+b²=c²+ac
显然|BF|²+|AB|²=|AF|²
∴∠ABF=90°
故选C．

点评：本题考查了椭圆的性质，由离心率能够得出b²=ac，是解题的关键，属于中档题．