Question

【题目】已知函数f（x）=emx﹣lnx﹣2．
（1）若m=1，证明：存在唯一实数t∈（ ，1），使得f′（t）=0；
（2）求证：存在0＜m＜1，使得f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）证明：m=1时，f（x）=ex﹣lnx﹣2，f′（x）=ex﹣ ，x＞0．

显然f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（ ）＜0，f′（1）＞0，

故存在唯一实数t∈（ ，1），使得f′（t）=0

（2）证明：f′（x）=memx﹣ =m（emx﹣ ），

由0＜m＜1得f′（x）在（0，+∞）上单调递增，

由（1）．得mx0=t时，f′（x0）=0，

所以f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

即f（x）的最小值为f（x0）=f（ ）=et﹣lnt+lnm﹣2，

∵et﹣ =0，∴et= ，t=﹣lnt．

于是f（x0）=f（ ）= +t+lnm﹣2，所以当lnm＞2﹣（ +t）时，f（x）＞0．

取k=2﹣（ +t）＜0，故m∈（ek，1）时成立

【解析】（1）m=1时，化简函数f（x）=ex﹣lnx﹣2，求出函数的导数，判断函数的单调性，通过f′（ ）＜0，f′（1）＞0，利用零点判定定理证明即可．（2）求出f′（x）=memx﹣ =m（emx﹣ ），利用由0＜m＜1得f′（x）在（0，+∞）上单调递增，由（1）得mx0=t时，f′（x0）=0，求出函数单调性以及最值，然后证明即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．