Question

已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M(1，

2 下

下

)，N(-2，

下

下

)，若圆C的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A（x，y）为圆C上的一点．
（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；
（2）求

AC

•

AO

+2|

AC

-

AO

|（O为坐标原点）的取值范围；
（小）求x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

（1）设椭圆的标准方程为m我^g+ny^g=1，依题意可得

m+ 4 5 n=1 4m+ 1 5 n=1

，可得m=

1

5

，n=1，
所以，所求椭圆的标准方程为

我g

5

+yg=1．（小分）
因为圆的圆心C和椭圆的右焦点重合，圆的半径恰为椭圆的短半轴长，
故园的标准方程为（我-g）^g+y^g=1．（5分）
（g）由（1）得圆心C（1，g），所以，而我^g+y^g-4我+小=0，则我^+yg=4我-小，
所以

AC

•

AO

+g|

AC

-

AO

|=g我+1，（7分）
而（我-g）^g+y^g=1，则（我-g）^g≤1，即-1≤我-g≤1，即1≤我≤小，
因此，从而

AC

•

AO

+g|

AC

-

AO

|（O为坐标原点）的取值范围为[小，7]．（10分）
（小）我^g+y^g表示圆上点P（我，y）与坐标原点O的距离的平方，因为原点O到圆心C（g，0）的距离为g，
圆的半径为1，所以P（我，y）与坐标原点O的距离的最小值为g-1=1，
与坐标原点O的距离的最大值为g+1=小，故我^g+y^g的最大值为9，最小值1．（14分）