Question

已知等比数列{a_n}的前四项为1，

1

2

，

1

4

，

1

8

．
（1）求a₁²+a₂²+a₃²+…+a₁₀²的值；
（2）设b_n=a_n（a_n+1），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知，注意到数列{a_n²}也是等比数列，直接依照公式计算．
（2）b_n=a_n（a_n+1）=a_n2+a_n，将Sn分组，化为两个等比数列求和．

解答：解：∵a1=1，a2=

1

2

，∴数列{a_n}的公比为

1

2

，
∴an=

1

2n-1

，∴an2=(

1

2n-1

)2=

1

4n-1

an+12

an2

=

1

4

，∴数列{a_n²}也是等比数列，公比为

1

4

∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a₁₀²=1+

1

4

+

1

42

+…+

1

49

=

1- 1 4 10

1- 1 4

=

4

3

-

1

3

1 4

)9
（2）∵bn=an

an+1

=

1

2n-1

1 2n-1 +1

=

1

22n-2

+

1

2n-1

∴Sn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

+

1- 1 2 n

1- 1 2

=

4

3

-

1

3

1 4

)n-1+2-

1 2

)n-1=

10

3

-

1

3

1 4

)n-1-

1 2

)n-1

点评：本题考查了等比数列的定义，求和公式，以及分组法数列求和．同时考查计算能力．