Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x） ②函数f（x）的图象与y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=2f（x）-18x+q+3是否存在常数t （t≥0），当x∈[t，10]时，g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由（注：[a，b]的区间长度为b-a）．

Answer 1

分析：（1）①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x），反映了函数的对称性； ②函数f（x）的图象与y=x相切，等价于ax²+（2a-1）x=0的两根相等，从而可求f（x）的解析式；
（2）g（x）=x²-16x+q+3．由于0≤t＜10，g（x）在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，且其图象的对称轴是x=8．故可分类讨论：①当0≤t≤6时，在区间[t，10]上，g（t）最大，g（8）最小；②当6＜t≤8时，在区间[t，10]上，g（10）最大，g（8）最小；③当8＜t＜10时，在区间[t，10]上，g（10）最大，g（t）最小，故可求常数t的值．

解答：解：（1）由①，a（x-4）²+b（x-4）=a（2-x）²+b（2-x），
∴（2x-6）（-2a+b）=0，
∴b=2a  
由②，ax²+（2a-1）x=0的两根相等，
∴a=

1

2

，b=1．
∴f（x）=

1

2

x²+x．
（2）g（x）=x²-16x+q+3．
∵0≤t＜10，g（x）在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，且其图象的对称轴是x=8．
①当0≤t≤6时，在区间[t，10]上，f（t）最大，f（8）最小，
∴g（t）-g（8）=12-t，即t²-15t+52=0，
解得t=

15± 17

2

，
∴t=

15- 17

2

；
②当6＜t≤8时，在区间[t，10]上，g（10）最大，g（8）最小，
∴g（10）-g（8）=12-t，解得t=8；
③当8＜t＜10时，在区间[t，10]上，g（10）最大，g（t）最小，
∴g（10）-g（t）=12-t，即t²-17t+72=0，
解得t=8（舍去）或t=9．
综上可知，存在常数t为

15- 17

2

，8，9，满足题意

点评：本题以函数的性质为载体，考查函数的解析式，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，有一定的综合性．