题目内容
设向量
=(
sinx，sinx)，
=(cosx，sinx)，其中x∈(0，
)．
（Ⅰ）若
∥
，求x的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=（
+
）•
，求f（x）的最大值．
| a |
| 3 |
| b |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）若
| a |
| b |
（Ⅱ）设函数f（x）=（
| a |
| b |
| b |
分析：（I）根据
∥
，利用向量平行的条件建立关于x的等式，算出sinx（
sinx-cosx）=0，结合x∈（0，
）可得
sinx=cosx，从而算出x的值；
（II）根据向量数量积计算公式与三角恒等变换，化简得f（x）=（
+
）•
=sin（2x-
）+
．再根据x∈（0，
）利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得x=
时，f（x）的最大值等于
．
| a |
| b |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3 |
（II）根据向量数量积计算公式与三角恒等变换，化简得f（x）=（
| a |
| b |
| b |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
解答：解：（I）∵
=(
sinx，sinx)，
=(cosx，sinx)，
∴由
∥
得
sinxsinx-cosxsinx=0，
即sinx（
sinx-cosx）=0．
∵x∈（0，
），
∴sinx＞0，可得
sinx=cosx，
∴tanx=
=
，
解得x=
；
（II）∵
=(
sinx，sinx)，
=(cosx，sinx)，
∴f（x）=（
+
）•
=（
sinx+cosx）cosx+2sin2x
=
sin2x+
（1+cos2x）+（1-cos2x）=
sin2x-
cos2x+
=sin（2x-
）+
．
∵x∈（0，
），
∴2x-
∈（-
，
），
∴sin（2x-
）∈（-
，1]，
∴f（x）∈（1，
]
当且仅当2x-
=
即x=
时，f（x）的最大值等于
．
| a |
| 3 |
| b |
∴由
| a |
| b |
| 3 |
即sinx（
| 3 |
∵x∈（0，
| π |
| 2 |
∴sinx＞0，可得
| 3 |
∴tanx=
| sinx |
| cosx |
| ||
| 3 |
解得x=
| π |
| 6 |
（II）∵
| a |
| 3 |
| b |
∴f（x）=（
| a |
| b |
| b |
| 3 |
=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 2 |
∵x∈（0，
| π |
| 2 |
∴2x-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴sin（2x-
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴f（x）∈（1，
| 5 |
| 2 |
当且仅当2x-
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
点评：本题着重考查了向量平行的条件、向量的数量积计算公式、同角三角函数的基本关系、三角性质变换与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
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