Question

（2010•通州区一模）已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值与最小值的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把f（x）=2cos²x+2sinxcosx等价转化为f（x）=cos2x+1+sin2x，从而得到f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1，由此能求出函数f（x）的最小正周期．                                  
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，由此能求出 f（x）的最大值与最小值的和．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x+2sinxcosx
=2cos²x-1+2sinxcosx+1
=cos2x+1+sin2x
=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∴函数f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．                                  
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，
f（x）取得最大值f(

π

8

) =

2

+1；                   
当2x+

π

4

=

5π

4

，即x=

π

2

时，
f（x）取得最小值f(

π

2

) =

2

(-

2

2

) +1=0．       
∴当x∈[0，

π

2

]时，
f（x）最大值与最小值的和为f(

π

8

) +f(

π

2

) =

2

+1．

点评：本题考查三角函数的综合运用，解题时要认真审题，注意二倍角公式和一角一函数及三角函数性质的灵活运用，易错点是三角函数符号的选取．