Question

已知函数f(x)=|x-3|-2，g(x)=-|x+1|+4，
(1)若函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；
(2)若不等式f(x)-g(x)≥m+1的解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：(1)由题意得f(x)≤1，即|x-3|-2≤1，
解得0≤x≤6，
所以x的取值范围是[0，6]；
(2)f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6，
对于x∈R，由绝对值不等式的性质得
f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2，
于是有m+1≤-2，得m≤-3，
即m的取值范围是(-∞，-3]。