Question

已知函数f（x）=lg（m^x-2^x）（0＜m＜1）．
（1）当m=

1

2

时，求f（x）的定义域；
（2）试判断函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性并给出证明；
（3）若f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将m=

1

2

代入得到f（x）的解析式，根据解析式要有意义，列出不等式，求解即可得到f（x）的定义域；
（2）利用函数单调性的定义，令g（x）=m^x-2^x，先判断出g（x₂）＜g（x₁），再根据对数的单调性，判断出f（x₂）＜f（x₁），从而证明结结论；
（3）将f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，等价为f（x）＞0在（-∞，-1]上恒成立，转化为f（x）_min＞0，利用f（x）的单调性即可求出f（x）的最小值，从而列出不等式，求解即可得到m的取值范围．

解答：解：（1）当m=

1

2

时，f（x）=lg[（

1

2

）^x-2^x]，
∴(

1

2

)x-2x＞0，即2^-x＞2^x，
∴-x＞x，即x＜0，
∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}；
（2）函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数．
证明：设x₂＜0，x₁＜0，且x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，
令g（x）=m^x-2^x，
∴g（x₂）-g（x₁）=mx2-2x2-mx1+2x1=mx2-mx1+2x1-2x2，
∵0＜m＜1，x₁＜x₂＜0，
∴mx2-mx1＜0，2x1-2x2＜0，
∴g（x₂）-g（x₁）＜0，即g（x₂）＜g（x₁），
∴lg（g（x₂））＜lg（g（x₁）），
∴lg（g（x₂））-lg（g（x₁））＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数；
（3）由（2）可知，f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）在（-∞，-1]上是单调递减函数，
∴f（x）在（-∞，-1]上的最小值为f（-1）=lg（m^-1-2^-1），
∵f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，即f（x）＞0在（-∞，-1]上恒成立，
∴f（x）_min＞0，
∴f（-1）=lg（m^-1-2^-1）＞0，即m^-1-2^-1＞1，
∴

1

m

＞1+

1

2

=

3

2

，
∵0＜m＜1，
∴0＜m＜

2

3

，
故m的取值范围为0＜m＜

2

3

．

点评：本题考查了函数定义域的求解，函数单调性的判断及其证明，函数恒成立问题的求解．对于求函数的定义域即求使得解析式有意义的x的取值集合．函数恒成立问题的，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．