Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x），又当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，则f（log

1

2

6）的值等于

-

1

2

．

Answer 1

分析：由题可先研究log

1

2

6的取值范围，利用函数的周期性与函数的奇函数的性质将f（log

1

2

6）的值用f（log2

3

2

）的值表示出来，再由x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，即可求出所求值．

解答：解：由题意函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），可得其周期是2
又-3=log

1

2

8＜log

1

2

6＜log

1

2

4=-2
故-1＜log

1

2

6+2＜0，即-1＜log2

2

3

＜0，可得1＞log2

3

2

＞0
∴f（log

1

2

6）=f（log

1

2

6+2）=f（log2

2

3

）
又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（log

1

2

6）=f（log2

2

3

）=-f（log2

3

2

）=-2log2

3

2

+1=-

1

2

故答案为：-

1

2

．

点评：本题考点是函数奇函数的性质，考查了奇函数的对称性，函数的周期性，对数的去处性质，解题的关键是由函数的性质将f（log

1

2

6）的值用f（log2

3

2

）的值表示出来，这是本题的难点，本题考察了转化的思想，本题是一个函数性质综合考查题，此类题是每年高考必考题，规律较固定，题后要好好总结．