Question

（2012•湘潭三模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
（1）试求椭圆M的方程；
（2）若斜率为

1

2

的直线l与椭圆M交于C、D两点，点P(1，

3

2

)为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，能求出椭圆M的方程．
（2）设直线l的方程为：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立直线l的方程与椭圆方程，得x²+bx+b²-3=0，当△＞0时，即b²-4（b²-3）＞0，直线l与椭圆有两交点，由韦达定理，得：

x1+x2=-b  x1•x2=b2-3

，由此能够得到k₁+k₂为定值．

解答：解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
∴a=2，c=1，b=

3

，
∴椭圆M的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设直线l的方程为：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立直线l的方程与椭圆方程，得：

y= 1 2 x+b，① x2 4 + y2 3 =1，②

①代入②，得：3x2+4(

1

2

x+b)2=12，
化简，得：x²+bx+b²-3=0，③
当△＞0时，即b²-4（b²-3）＞0，
即|b|＜2时，直线l与椭圆有两交点，
由韦达定理，得：

x1+x2=-b  x1•x2=b2-3

，
∴k1=

y1- 3 2

x1-1

=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

，
k2=

y2- 3 2

x2-1

=

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

，
∴k₁+k₂=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

+

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

=

x1•x2+(b-2)(x1+x2 )+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=

b2-3+(b-2)(-b)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=0，
∴k₁+k₂为定值．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．