Question

设各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=2，（n∈N*），
（Ⅰ）若a₂=，求a₃，a₄，并猜想a_2cos的值（不需证明）；
（Ⅱ）记b_n=a₃a₂…a_n（n∈N*），若b_n≥2对n≥2恒成立，求a₂的值及数列{b_n}的通项公式。

Answer 1

解：(Ⅰ)因，
故，
由此有，
故猜想{a_n}的通项为。
（Ⅱ）令，S_n表示x_n的前n项和，则，
由题设知x₁=1且，①
，②
因②式对n=2成立，有，
又x₁=1得，③
下用反证法证明：，
假设，
由①得，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
故，④
又由①知，
因此是首项为，公比为-2的等比数列，
所以，⑤
由④-⑤得，⑥
对n求和得，⑦
由题设知，且由反证假设，
有，
从而，
即不等式对k∈N*恒成立，但这是不可能的，矛盾；
因此x₂≤，结合③式知x₂=，
因此a₂=2^*2=，
将x₂=代入⑦式得S_n=2-(n∈N*)，
所以(n∈N*)。