Question

排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．

Answer 1

分析：由题意知设出北方球队的个数，从而得到南方球队的个数，写出南方和北方球队的得分，根据北方球队内部比赛总得分大于零列出不等式，解不等式时注意所设的变量是一个整数，分类讨论．

解答：解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支
所有球队总得分为

C

2 2x+9

=

(2x+9)(2x+8)

2

=(2x+9)(x+4)
南方球队总得分为

9

10

(2x+9)(2x+8)

2

=

9(x+9)(x+4)

10

北方球队总得分为

(2x+9)(x+4)

10

南方球队内部比赛总得分C_x+9²
北方球队内部比赛总得分C_x²

(2x+9)(x+4)

10

-

x(x-1)

2

≥0
解得：

11- 229

3

≤x≤

11+ 229

3

＜

11+16

3

=9
因为

(2x+9)(x+4)

10

为整数
x=6或x=8
当x=6时
所有球队总得分为

C

2 2x+9

=

(2x+9)(2x+8)

2

=(2x+9)(x+4)=210
南方球队总得分为

9

10

(2x+9)(2x+8)

2

=

9(x+9)(x+4)

10

=189
北方球队总得分为

(2x+9)(x+4)

10

=21
南方球队内部比赛总得分C_x+9²=105
北方球队内部比赛总得分C_x²=15
北方胜南方得分=21-15=6
北方球队最高得分=5+6=11
因为11×15=165＜189
所以南方球队中至少有一支得分超过．
冠军在南方球队中
当x=8时
所有球队总得分为

C

2 2x+9

=

(2x+9)(2x+8)

2

=(2x+9)(x+4)=300
南方球队总得分为

9

10

(2x+9)(2x+8)

2

=

9(x+9)(x+4)

10

=270
北方球队总得分为

(2x+9)(x+4)

10

=30
南方球队内部比赛总得分C_x+9²=136
北方球队内部比赛总得分C_x²=28
北方胜南方得分=30-28=2
北方球队最高得分=7+2=9
因为9×17=153＜270
所以南方球队中至少有一支得分超过．
冠军在南方球队中
综上所述，冠军是一支南方球队

点评：本题是同学们喜欢的题目，对题目的情景感兴趣，有排列和组合数的方程或不等式的解法，解题时要注意题目中的数字本身所隐含的条件，排列、排列数公式应用，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查．