题目内容

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x
（I）求f（x）的单调递减区间；
（II） A、B、C是△ABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c．若f（ $数学公式$ ）= $数学公式$ ， $数学公式$ =12，a= $数学公式$ ，且b＜c，求 b、c 的长．

解：（Ⅰ）f （x）=sin²x+2sincosx+cos²x-2sin²x=-sin²x+cos²x+sin2x
=sin2x+cos2x= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
令 $\text{[math]}$ +2kπ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ（k∈Z），解得 $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ（k∈Z），
∴f （x）的单调递减区间为[ $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]（k∈Z）． …（6分）
（Ⅱ）f （ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，即sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，即A= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （不符合题意，舍去）．
由 $\text{[math]}$ =c•b•cosA=12和cosA= $\text{[math]}$ ，得bc=24．①
∵a= $\text{[math]}$ ，cosA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴将bc=24代入，化简并解之可得b²+c²=52．
∵b²+c²+2bc=（b+c）²=100，b＞0，c＞0，
∴b+c=10，②
联解①②，解之得b=4、c=6或b=6、c=4
∵b＜c，∴b=6、c=4不合题意，舍去
可得 b、c 的长分别为4，6． …（12分）
分析：（I）将f（x）展开并运用二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简整理，可得f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），再利用正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到f（x）的单调递减区间；
（II）将 $\text{[math]}$ 代入（I）中的关系式，解出A= $\text{[math]}$ ．根据 $\text{[math]}$ =12列式，可得bc=24，再根据余弦定理结合配方解出b+c=10，由此即可解出b、c的长．
点评：本题给出三角函数关系式，求函数的单调减区间并解三角形ABC的b、c 的之长，着重考查了解三角形、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．