Question

11．设函数f（x）是定义在R上的可导函数，且当x≠0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零点个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 0
• D． 0或2

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{xf′（x）+f（x）}{x}$，进而可得函数xf（x）单调性，而函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数，可得y=xf（x）+1＞1，无零点．

解答 解：由$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，得$\frac{xf'（x）+f（x）}{x}＞0$
当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即${[{xf（x）}]_{\;}}^′＞0$，函数xf（x）单调递增；
当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即${[{xf（x）}]_{\;}}^′＜0$，函数xf（x）单调递减．
又$g（x）=f（x）+\frac{1}{x}=\frac{xf（x）+1}{x}$，函数$g（x）=\frac{xf（x）+1}{x}$的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数．
当x＞0时，y=xf（x）+1＞1，当x＜0时，y=xf（x）+1＞1，所以函数y=xf（x）+1无零点，
所以函数$g（x）=f（x）+\frac{1}{x}$的零点个数为0个．
故选C．

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性以及函数零点的判断；关键是由已知得到函数xf（x）的单调性．