题目内容

已知函数f(x)=Asin(ωx+
π
6
)(x∈R，ω＞0)的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α，β∈[0，
π
2
]，f(3α+π)=
16
5
，f(3β+
5π
2
)=-
20
13
，求cos（α-β）的值．
（Ⅰ）依题意得
2π
ω
=6π，ω=
1
3
．…（2分）
∴f(x)=Asin(
x
3
+
π
6
)．再由f（2π）=2得 Asin(
2π
3
+
π
6
)=2，即 Asin
5π
6
=2，
∴A=4，…（4分）
∴f(x)=4sin(
x
3
+
π
6
)…（6分）
（Ⅱ）由 f（3α+π）=
16
5
得 4sin[
1
3
(3α+π)+
π
6
]=
16
5
，即4sin(α+
π
2
)=
16
5

∴cosα=
4
5
，又∵α∈[0，
π
2
]，∴sinα=
3
5
．．   …（8分）
由f(3β+
5π
2
)=-
20
13
得4sin[
1
3
(3β+
5π
2
)+
π
6
]=-
20
13
，即 sin（β+π）=-
5
13
，
∴sinβ=
5
13
，又∵β∈[0
π
2
]，∴cosβ=
12
13
． …（10分）
从而cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=
4
5
×
12
13
+
3
5
×
5
13
=
63
65
． …（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=a-
12x+1
．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．
已知函数f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）图象经过点Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直线坐标系中画出函数f（x）的大致图象；
（2）求函数f（t）-9的零点；
（3）设q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函数q（t）的单调递增区间．
已知函数f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）为奇函数，则a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3
已知函数f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（III）设g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）
已知函数f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）考察f（x）在定义域上单调性的情况，并证明你的结论．

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