Question

已知函数，其中为正常数．

（Ⅰ）求函数在上的最大值；

（Ⅱ）设数列满足：，，

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对任意的，；

（Ⅲ）证明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2），并运用数列的通项公式来结合函数的性质来得到证明。

（3）从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩.

【解析】

21.  试题分析：解：（Ⅰ）由，可得，

（2　分）

所以，，， （3　分）

则在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，． （4　分）

（Ⅱ）（1）由，得，又，

则数列为等比数列，且， （5　分）

故为所求通项公式． （6　分）

（2）即证，对任意的，

（　7分）

证法一：（从已有性质结论出发）

由（Ⅰ）知 （9　分）

即有对于任意的恒成立． （10　分）

证法二：（作差比较法）

由及 （　8分）

 （9　分）

即有对于任意的恒成立． （10　分）

（Ⅲ）证法一：（从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩）

由（Ⅱ）知，对于任意的都有，

于是，

（11　分）对于任意的恒成立

特别地，令，即， （12　分）

有，故原不等式成立．

（14　分）

以下证明小组讨论给分

证法二：（应用柯西不等式实现结构放缩）

由柯西不等式：

其中等号当且仅当时成立．

令，，可得

则

而由，所以

故，所证不等式成立．

证法三：（应用均值不等式“算术平均数”“几何平均数”）

由均值不等式：，其中

可得 ，

两式相乘即得，以下同证法二．

证法四：（逆向分析所证不等式的结构特征，寻找证明思路）

欲证，

注意到，而

从而所证不等式可以转化为证明

在此基础上可以考虑用数学归纳法证明此命题

考点：数列的运用

点评：本试题考查了数列的通项公式和数列的最值的运用，属于基础题。