Question

已知y=f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时f（x）=1-

1

x

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）试判断f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）要求函数的解析式，已知已有x＞0时的函数解析式，只要根据题意求出x＜0及x=0时的即可，根据奇函数的性质容易得f（0）=0，而x＜0时，由-x＞0及f（-x）=-f（x）可求．
（2）结合函数y=

1

x

的单调性，直接判断f（x）的单调性，求出单调区间即可．

解答：解：（1）∵当x＞0时，f（x）=1-

1

x

，
设x＜0则-x＞0
∴f（-x）=1+

1

x

由函数f（x）为奇函数可得-f（-x）=f（x）
∴f（x）=-1-

1

x

即f（x）=-1-

1

x

，x＜0
∵f（0）=0
∴f（x）=

-1- 1 x ，x＜0 0，x=0 1- 1 x ，x＞0

（2）∵x＞0时，

1

x

是减函数，f（x）=1-

1

x

是增函数；x＜0时，

1

x

是减函数，f（x）=-1-

1

x

是增函数，
所以，f（x）的单调增区间是（-∞，0），（0，+∞）．

点评：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，解题中要注意函数的定义域是R，不用漏掉对x=0时的考虑．