Question

已知在椭圆中，F₁（-c，0）（c＞0）是椭圆的左焦点，A（a，0），B（0，b）分别是椭圆的右顶点和上顶点，点O是椭圆的中心．又点P在椭圆上，且满足条件：OP∥AB，点H是点P在x轴上的投影．
（Ⅰ）求证：当a取定值时，点H必为定点；
（Ⅱ）如图所示，当点P在第二象限，以OP为直径的圆与直线AB相切，且四边形ABPH的面积等于，求椭圆的标准方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，OP∥AB，得，代入椭圆方程，得，由此能够证明为定值，点H必为定点．
（II）当点P在第二象限，点O到直线AB的距离等于，由条件设直线AB的方程为：，则点O到直线AB的距离为，由，知，从而=，由四边形ABPH的面积等于，知S_ABPH=S_△ABO+S_OBPH=．由此能够求出椭圆的标准方程．
解答：解：（I）由，OP∥AB，得，代入椭圆方程，得，即，
由，得P点的坐标为或，（3分）
∵PH⊥x轴，∴或，
∵a为定值，∴点H必为定点．（6分）

（II）当点P在第二象限，以OP为直径的圆与直线AB相切，
即等价于点O到直线AB的距离等于，（8分）
由条件设直线AB的方程为：，
则点O到直线AB的距离为，
又由（I）可知，所以，
从而=，即①（10分）
又四边形ABPH的面积等于，
则S_ABPH=S_△ABO+S_OBPH
=
整理得ab②（12分）
由①②解得，
所以所求椭圆的标准方程为．（14分）
点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．