Question

已知f(x)=log2

1+x

1-x

（1）求f（x）的定义域；
（2）求证：f（x）为奇函数
（3）判断f（x）的单调性，并求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令

1+x

1-x

＞0可得函数定义域；
（2）利用奇函数的定义即可证明；
（3）根据复合函数单调性的判断方法可判断函数的单调性，利用对数函数的单调性可解得不等式，注意对数函数的定义域；

解答：（1）解：要使函数f（x）有意义，须有

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，
 又f（-x）+f（x）=log2

1-x

1+x

+log2

1+x

1-x

=log₂1=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（3）解：f(x)=log2

1+x

1-x

可看作由y=log₂t和t=

1+x

1-x

复合而成的，
而y=log₂t单调递增，t=

1+x

1-x

=-1-

2

x-1

在（-1，1）上递增，
∴f（x）在（-1，1）上单调递增；
f（x）＞0，即log2

1+x

1-x

＞0，
∴

1+x

1-x

＞1，
又-1＜x＜1，∴可不等式可化为1+x＞1-x，解得0＜x＜1，
故x的取值范围是：（0，1）．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．