Question

设抛物线C₁：x ²＝4 y的焦点为F，曲线C₂与C₁关于原点对称．

(Ⅰ) 求曲线C₂的方程；

(Ⅱ) 曲线C₂上是否存在一点P（异于原点），过点P作C₁的两条切线PA，PB，切点A，B，满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系、等差中项等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

(Ⅰ)解；因为曲线与关于原点对称，又的方程，

所以方程为．                 …………5分

(Ⅱ)解：设，，,．

的导数为，则切线的方程，

又，得，

因点在切线上,故．

同理, ．

所以直线经过两点，

即直线方程为,即，

代入得，则,，

所以 ，

由抛物线定义得，．

所以，

由题设知，，即，

解得，从而．

综上，存在点满足题意，点的坐标为

 或 ．

                                              …………15分