Question

设椭圆的方程为，线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦．若在左准线上存在点R，使△PQR为正三角形，求椭圆的离心率e的取值范围，并用e表示直线PQ的斜率．

Answer 1

答案：
解析：

■少图 　　解：如图，设线段的中点为． 　　过点、、分别作准线的垂线，垂足分别为、、，则 　　．　　　　　　6分 　　假设存在点，则，且，即 　　， 　　所以，．　　　　　　　　　　　　　12分 　　于是，，故 　　． 　　若(如图)，则 　　．　　　　　　18分 　　当时，过点作斜率为的焦点弦，它的中垂线交左准线于，由上述运算知，．故正三角形.　　　　　21分 　　若，则由对称性得． 　　又，所以，椭圆的离心率的取值范围是，直线的斜率为．