Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，PA=AD=2，AC=1．
（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）以、、为x、y、z正半轴方向，建立空间直角坐标系A-xyz如图．得出D、C、P各点的坐标，从而得出=（0，1，-2），=（2，0，0），再计算•=0，可得⊥，即PC⊥AD；
（II）利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组并解之，可得平面PCD的一个法向量=（1，2，1），结合=（2，0，0）是平面PAC的法向量，算出，夹角的余弦，即为二面角A-PC-D的余弦之值．最后用同角三角函数关系，不难得出二面角A-PC-D的正弦值．
解答：解：（I）以、、为x、y、z正半轴方向，建立空间直角坐标系A-xyz…（1分）
则D（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）…（3分）
∴=（0，1，-2），=（2，0，0），
可得•=0×2+1×0+（-2）×0=0，
∴⊥，即PC⊥AD；…（6分）
（II）=（0，1，-2），=（2，-1，0），
设平面PCD的一个法向量=（x，y，z）．
则，取z=1，得=（1，2，1）…（10分）
∵是平面PAC的法向量…（11分）
∴cos＜，＞==，可得sin＜，＞=
得：二面角A-PC-D的正弦值为…（13分）
点评：本题给出四棱锥，求证线线垂直并求二面角的大小，着重考查了直线与平面垂直的性质、用空间向量求平面间的夹角等知识，属于中档题．