Question

（本小题满分12分）
已知函数
（1）是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存在，则求出的值，若不存在，请说明理由.
（2）若存在实数，使得函数的定义域为时，值域为 （），求的取值范围.

Answer 1

(1) 不存在适合条件的实数 (2)

试题分析：解：(1)若存在满足条件的实数，使得函数的定义域、值域都是，则由题意知 
① 当时，在上为减函数.故即   解得，故此时不存在适合条件的实数 
②当时，在上是增函数. 故即，此时是方程的根，此方程无实根.故此时不存在适合条件的实数
③当时， 由于，而，故此时不存在适合条件的实数，综上可知，不存在适合条件的实数.
（2）若存在实数，使得函数的定义域为时，值域为
则  
①当时，由于在上是减函数，值域为，
即此时异号，不合题意.所以不存在.
②当或时，由（1）知0在值域内，值域不可能是，所以不存在，故只有
又因为在上是增函数， 即
是方程的两个根，即关于的方程有两个大于的实根.设这两个根为   则
所以    即   解得
故的取值范围是
点评：解决函数的定义域和值域的问题，主要是分析函数的单调性，对于含有绝对值的 函数实际就是分段函数，要分别考虑求解其值域，同时要注意分段函数的值域等于各段函数值域的并集，定义域也是各段定义域的并集，属于难度试题。