Question

如图，在等腰直角三角形中， =900 ，=6, 分别是，上的点， 为的中点.将沿折起，得到如图所示的四棱椎，其中

（1）证明：；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

 

Answer 1

详见解析

【解析】

试题分析：（1）F为ED的中点，连接OF,A’F，根据已知计算出的长度，满足勾股定理，, A’F为等腰△A’DE底边的中线，, ,证得线面垂直，线线垂直，再线面垂直;(2) 过点O作的延长线于，连接．利用（1）可知：平面，根据三垂线定理得，所以为二面角的平面角．在直角中，求出即可；

试题解析：

证明: (1)设F为ED的中点，连接OF,A’F,计算得A’F=2，OF=1

∵A’F为等腰△A’DE底边的中线，∴A’F⊥DE

∵OF在原等腰△ABC底边BC的高线上，

∴OF⊥DE

又∵A’F，OF平面A’OF, A’FOF=F,

∴DE⊥平面A’OF

∵A’O平面A’OF, ∴DE⊥A’O

在△A’FO中，A’+=3+1=,∴A’O⊥OF

∵OFDE=F,OF平面BCDE,DE平面BCDE, ∴A’O⊥平面BCDE 6分

(2)：如答图1，过O作CD的垂线交CD的延长线于M，连接A’M

∵A’O⊥平面BCDE,CD平面BCDE, ∴CD⊥A’O ∵OMA’O=O, ∴CD⊥平面A’OM

∵A’M平面A’OM∴CD⊥A’M ∴∠A’MO为所求二面角的平面角

在Rt△OMC中，OM==, A’O=于是在Rt△A’OM中，A’M=∴∠A’OM= 13分

考点：1.线面垂直的判定；2.二面角的定义.