Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+（a-1）x（a∈R且a≠0），
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）记函数y=F（x）的图象为曲线C。设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点。如果在曲线C上存在点M（x₀，y₀），使得：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”。试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域是（0，+∞），
由已知得，，
（1）当时，
令，解得；
令，解得，
所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（2）当时，
①当时，即时，
令，解得或； 
令，解得，
所以，函数f（x）在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，即a=-1时， 显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当时，即时，
令，解得或；
令，解得，
所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减；
综上所述，（1）当时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，
在（1，+∞）上单调递减；
（2）当时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；
（3）当时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（4）当时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，
在上单调递减；
（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”， 
设，是曲线y=f（x）上的不同两点，且，
则，，  
      
，
曲线在点处的切线斜率， 
依题意得：，
化简可得： ，  
即=，
设（t＞1），上式化为：，   
即， 
令，，
因为，显然g′（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，  
显然有g（t）＞2恒成立；
所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立；
综上所述，假设不成立，所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”。