Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n,且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1,n=1,2,3,….

(1)求a₁,a₂;

(2)求{a_n}的通项公式.

Answer 1

解：(1)当n=1时,x²-a₁x-a₁=0,有一根为S₁-1=a₁-1.

∴(a₁-1)²-a₁(a₁-1)-a₁=0,解得a₁=.

当n=2时,x²-a₂x-a₂=0,有一根为S₂-1=a₂.

∴(a₂)²-a₂(a₂)-a₂=0.

解得a₂=.

(2)由(S_n-1)²-a_n(S_n-1)-a_n=0,即S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0.

当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0.

由(1)知S₁=a₁=,S₂=a₁+a₂=+=.

∴S₃=.

由此猜想S_n=,n=1,2,3,…,

下面用数学归纳法证明：

①n=1时,已知结论成立.

②假设n=k时结论成立,即S_k=,

当n=k+1时,由S_nS_n-1-2S_n+1=0得S_k+1=,即S_k+1=.

故n=k+1时结论也成立.

综上,由①②知S_n=对所有正整数都成立,

于是当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=,

又n=1时,a₁=,所以{a_n}的通项公式为a_n=(n=1,2,3,…).