题目内容

若定义在R上的函数f（x）满足f（1-x）=f（x+3），且（x-2）f′（x）＜0，a=f （lo
g 2
5），b=f （lo
g 4
15），c=f （20.5），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．c＞a＞b
∵定义在R上的函数f（x）满足f（1-x）=f（x+3），∴函数y=f（x）的图象关于直线x=
1+3
2
=2对称．
∵log25＞log24=2，∴a=f（log25）=f（4-log25）．
∵4-log25=log2
16
5
＜log2
15
=log415
又∵
2
＜4-log25，∴
2
＜4-log25＜log415＜2，
∵（x-2）f′（x）＜0，
∴当x＜2时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（-∞，2）上单调递增，
∴f（20.5）＜f（4-log25）＜f（log415），即c＜a＜b．
故选C．
练习册系列答案
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函数f（x）的定义域为A，若x1、x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①若函数f（x）是f（x）=x2（x∈R），则f（x）一定是单函数；
②若f（x）为单函数，x1、x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；
③若定义在R上的函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数；
④若函数f（x）是周期函数，则f（x）一定不是单函数；
⑤若函数f（x）是奇函数，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题的序号是
②④
②④
．
若定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2，则下列说法一定正确的是（　　）
若定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（4）=5，不等式f（cos2x+asinx-2）＜3对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
若定义在R上的函数f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数．
（1）求证：f（x）在（-∞，0]上也是增函数；
（2）对任意θ∈R，不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
精英家教网若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），且当x∈[0，1]时，其图象是四分之一圆（如图所示），则函数H（x）=|xex|-f（x）在区间[-3，1]上的零点个数为（　　）
A、5B、4C、3D、2

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