Question

设双曲线C：

x2

a2-4

+

y2

a2

=1 (a＞0)．
（1）确定实数a的取值范围；
（2）若点P在双曲线C上，F₁、F₂是两个焦点，PF₂与双曲线实轴所在直线垂直，且△F₁PF₂的面积为6，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，建立关于a的不等式：（a²-4）a²＜0，解之即可得到实数a的取值范围；
（2）由（1）将双曲线方程化成标准形式，即可算出双曲线的焦点坐标．从而可设点P（x₁，2），结合双曲线方程算出横坐标x₁关于a的表达式，最后根据△F₁PF₂的面积为6建立关于a的方程，解之即可得到实数a的值．

解答：解：（1）由题意，可得
∵方程

x2

a2-4

+

y2

a2

=1 (a＞0)表示双曲线，
∴（a²-4）a²＜0，解之得0＜a＜2，
因此，实数a的取值范围是（0，2）．
（2）由（1），可知双曲线的标准方程为

y2

a2

-

x2

4-a2

=1 (0＜a＜2)，
∴c=

a2+(4-a2)

=2，
可得双曲线的两个焦点分别为F₁（0，-2）、F₂（0，2），
因为PF₂与双曲线实轴所在直线垂直，设点P（x₁，2），
可得

4

a2

-

x 2 1

4-a2

=1，即x1=±(

4

a

-a)，
∴S△F1PF2=

1

2

•|F1F2|•|x1|=6，
∵|F₁F₂|=4，|x1|=(

4

a

-a)
∴代入上式，可得2(

4

a

-a)=6，解之得a=1．

点评：本题给出双曲线

y2

a2

-

x2

4-a2

=1，在已知△F₁PF₂的面积为6的情况下求实数a的值．着重考查了双曲线的标准方程、基本概念与简单几何性质等知识，属于基础题．