题目内容

若数列{a_n}为等差数列，a₁＞0，a₂₀₀₅+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₅•a₂₀₀₄＜0，则使前n项和S_n＞0的最大自然数n=

4008

4008

．

分析：根据题意可知：此等差数列的1到2004项每一项都大于0，从第2005项开始每一项都小于0，然后利用等差数列的前n项和公式表示出前4008项的和与前4009项的和，分别利用等差数列的性质变形后，根据a₂₀₀₄+a₂₀₀₅＞0与a₂₀₀₅＜0，判断出前4008项的和为正与前4009项的和为负，即可求出满足题意的最大自然数n的值．

解答：解：由题意知：等差数列中，从第1项到第2004项是正数，且从第2005项开始为负数，
则S₄₀₀₈=2005（a₁+a₄₀₀₈）=2005（a₂₀₀₄+a₂₀₀₅）＞0，
S₄₀₀₉=

4009(a1+a4009)

2

=4009a₂₀₀₅＜0，
故n的最大值为4008．
故答案为：4008

点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式．本小题结论可以推广成一般结论：等差数列中，a₁＞0，a_k+a_k+1＞0，且a_ka_k+1＜0，则使前n项和Sn＞0的最大自然数n是2k．

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在数列{a_n}中，如果对任意n∈N⁺都有

=p（p为常数），则称数列{a_n}为“等差比”数列，p叫数列{a_n}的“公差比”．现给出如下命题：
（1）等差比数列{a_n}的公差比p一定不为零；
（2）若数列{a_n}（n∈N⁺）是等比数列，则数列{a_n}一定是等差比数列；
（3）若等比数列{a_n}是等差比数列，则等比数列{a_n}的公比与公差比相等．
则正确命题的序号是

定义：若数列{a_n}对任意n∈N^*，满足

=k（k为常数），称数列{a_n}为等差比数列．
（1）若数列{a_n}前n项和S_n满足S_n=3（a_n-2），求{a_n}的通项公式，并判断该数列是否为等差比数列；
（2）若数列{a_n}为等差数列，试判断{a_n}是否一定为等差比数列，并说明理由；
（3）若数列{a_n}为等差比数列，定义中常数k=2，a₂=3，a₁=1，数列{

}的前n项和为T_n，求证：T_n＜3．

在数列{a_n}中，n∈N₊，若＝k(k为常数)，则称数列{a_n}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0．其中正确判断的序号是

①③

②④

①④

②③④

下列命题中正确的有________．（填写所有正确命题的序号）
①在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
②若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB；
③若数列{a_n}为等差数列，则数列a_n+2a_n+1仍为等差数列；
④若数列{a_n}为等比数列，则数列a_n+2a_n+1仍为等比数列；
⑤当 $数学公式$ 时， $数学公式$ 的最小值是 $数学公式$ ．

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（1）等差比数列{a_n}的公差比p一定不为零；
（2）若数列{a_n}（n∈N⁺）是等比数列，则数列{a_n}一定是等差比数列；
（3）若等比数列{a_n}是等差比数列，则等比数列{a_n}的公比与公差比相等．
则正确命题的序号是．