Question

已知实数c＞0，命题p：关于x的不等式x+|x-2c|＞1对x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=lg（cx²+2x+1）的定义域为R，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则实数c的取值范围是

(

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：先求命题p的等价命题，运用数形结合解决恒成立问题，得命题p即c＞

1

2

，再求命题q的等价命题，运用二次不等式解集性质，可得命题p即c＞1，最后由真值表判断满足题意的命题为
命题p、q一真一假，分别求c的取值范围的交集，再求并集即可

解答：解：由命题p：关于x的不等式x+|x-2c|＞1对x∈R恒成立，可知|x-2c|＞1-x对x∈R恒成立，设f（x）=|x-2c|，g（x）=1-x，两函数的图象如图
数形结合可知，要使f（x）的图象总在g（x）的图象上方，需2c＞1，即c＞

1

2

∵命题q：函数f（x）=lg（cx²+2x+1）的定义域为R，即cx²+2x+1＞0恒成立，需△=4-4c＜0，即c＞1
∵“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，∴命题p、q一真一假
若p真q假，则

c＞ 1 2 0＜c≤1

∴

1

2

＜c≤1
若p假q真，则

c＞1 0＜c≤ 1 2

∴c∈∅
综上，实数c的取值范围是

1

2

＜c≤1
故答案为(

1

2

，1]

点评：本题考察了复合命题真假的判断，不等式恒成立问题的解法，解题时要熟记真值表，能熟练运用数形结合等方法解决恒成立问题