Question

已知函数，其中函数的图象在点处的切线方程为.

（Ⅰ）若，求函数的解析式；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：.

Answer 1

（Ⅰ）,则有，解得

        

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令

，则，

（i）当时，。

若，则，是减函数，所以，即

故在上不恒成立.

(ii)当时，。

若，则是增函数，所以，即故当

时，.

综上所述，所求的取值范围为。

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知当时，有。

令有

且当时，。   令有

，

将上述个不等式依次相加，得

整理得

解法二：用数学归纳法证明.

①当时，左边，右边不等式成立.

②假设当时，不等式成立，就是

那么

由（Ⅱ）知，当时，有。

令有。

令，得

。

这就是说，当时，不等式也成立

根据①和②，可知不等式对任何都成立。