Question

（本小题满分12分）

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=A B．

（Ⅰ）求证：PC⊥平面BDE；

（Ⅱ）若点Q是线段PA上任一点，求证：BD⊥DQ；

（Ⅲ）求线段PA上点Q的位置，使得PC//平面BDQ．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）略

（Ⅲ）AQ=AP时，PC//QD，从而PC//平面BDQ ．  

【解析】（Ⅰ）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC

又DE垂直平分PC，∴DE⊥PC

∴PC⊥平面BDE，………… 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），有PC⊥BD

因为 PA⊥底面ABC ，所以PA⊥BD

BD⊥平面PAC，所以点Q是线段PA上任一点都有

BD⊥DQ    ………………………… 8分

（Ⅲ）解：不妨令PA=AB=1，有PB=BC= 

计算得AD=AC 所以点Q在线段PA的处，

即AQ=AP时，PC//QD，从而PC//平面BDQ ．   ……………………… 12分