Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数则f'（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，建立关系式，解之即可；
（2）求出f（x）的导函数，化简整理后，根据a小于0和a大于0，分别讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（3）先研究函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，令x=

n

n-1

，易得ln

n

n-1

＞

1

n

，然后利用lnn＞ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

即可证得结论．

解答：解：（1）∵f(x)=

1-x

ax

+lnx∴f'（x）=

ax-1

ax2

（a＞0）…1
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数∴f'（x）=

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立
ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1  （4分）
（2）∵a≠0f′(x)=

a(x- 1 a )

ax2

=

x- 1 a

x2

，x＞0，
当a＜0时，f'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，∴f（x）的增区间为（0，+∞）…5
当a＞0时，f′(x)＞0?x＞

1

a

，f′(x)＜0?x＜

1

a

∴f（x）的增区间为(

1

a

，+∞)，减区间为（0，

1

a

）…6
（3）当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，f'（x）=

x-1

x2

，故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x=

n

n-1

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0…8
∴f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

∴lnn＞ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

点评：此题考查学生会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，会根据函数的增减性证明不等式，是一道综合题．