Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：
（1）对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2；
（2）f（1）=3
（3）若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（ I）求f（0）的值；
（ II）求f（x）的最大值；
（ III）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn=-

1

2

(an-3)，n∈N*．求证：f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an)≤

3

2

+2n-

1

2×3n-1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取特值x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2后可求得f（0）≤2，又对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2，由此可得f（0）=2；
（Ⅱ）在[0，1]内任取两个值x₁，x₂，规定x₁＜x₂后，由f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2推出f（x₂）≥f（x₁），由此可得f（x）的最大值为3；
（Ⅲ）由数列{a_n}的前n项和求出数列的通项公式an=

1

3n-1

，把f(an)=f(

1

3n-1

)转化为f(

1

3n

+

1

3n

+

1

3n

)，然后代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，变形整理后得即f(an+1)≤

1

3

f(an)+

4

3

，循环放大得到f(an)≤2+

1

3n-1

，代入求证的不等式左边化简即可．

解答：（I）解：令x₁=x₂=0，由f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，则f（0）≥2f（0）-2，∴f（0）≤2．
由对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2，∴f（0）≥2，故f（0）=2；
（II）对任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，则0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥2，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2≥f（x₁），
∴f_max（x）=f（1）=3；
（III）∵Sn=-

1

2

(an-3)(n∈N*)①，
∴Sn-1=-

1

2

(an-1-3)(n≥2)②，
①-②得：an=

1

3

an-1(n≥2)，
由Sn=-

1

2

(an-3)，得：a1=-

1

2

(a1-3)，解得a₁=1．
∵a₁=1≠0，∴

an

an-1

=

1

3

（n≥2），
∴an=a1qn-1=

1

3n-1

．
∴f(an)=f(

1

3n-1

)=f(

1

3n

+

1

3n

+

1

3n

)≥f(

2

3n

)+f(

1

3n

)-2≥3f(

1

3n

)-4
∴f(

1

3n

)≤

1

3

f(

1

3n-1

)+

4

3

，即f(an+1)≤

1

3

f(an)+

4

3

．
所以f(an)≤

1

3

f(an-1)+

4

3

≤

1

3

[

1

3

f(an-2)+

4

3

]+

4

3

≤…≤

1

3n-1

f(a1)+

4

3n-1

+

4

3n-2

+…+

4

3

=

1

3n-1

f(1)+

4

3n-1

+

4

3n-2

+…+

4

3

=

3

3n-1

+4×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

=

1

3n-1

+2．
故f(an)≤2+

1

3n-1

∴f(a1)+f(a2)+…+f(an)≤2n+

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=2n+

3

2

-

1

2×3n-1

．
即原不等式式成立．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了数列的和，训练了利用放缩法求证不等式，考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力，是难度较大的题目．