Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（0，2）的动直线与曲线E：y=x+

2

x

(x＞0)相交于不同的两点M、N，曲线E在点M、N处的切线交于点H．试问：点H是否在某一定直线上，若是，试求出定直线的方程；否则，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由截距式确定直线l的方程，与椭圆方程联立，利用直线l与椭圆C相切，确定c的值，从而可得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线m的方程与曲线E：y=x+

2

x

(x＞0)联立，消去y，再求得过点M、N的切线方程，从而可得两直线的交点坐标，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题得过两点A（4，0），B（0，2）直线l的方程为x+2y-4=0．…（1分）
因为

c

a

=

1

2

，所以a=2c，b=

3

c．
设椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
由

x+2y-4=0 x2 4c2 + y2 3c2 =1

消去x得，4y²-12y+12-3c²=0．
又因为直线l与椭圆C相切，所以△=12²-4×4（12-3c²）=0，解得c²=1．
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）直线m的斜率存在，设直线m的方程为y=kx+2，…（5分）
由

y=kx+2 y=x+ 2 x

，消去y，整理得（k-1）x²+2x-2=0．…（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意知△=(2)2+8(k-1)=8k-4＞0，x1+x2=

2

1-k

＞0，x1x2=

2

1-k

＞0，解得

1

2

＜k＜1．…（8分）
由y′=1-

2

x2

知过点M的切线方程为y-(x1+

2

x1

)=(1-

2

x12

)(x-x1)
过点N的切线方程为y-(x2+

2

x2

)=(1-

2

x22

)(x-x2)…（10分）
两直线的交点坐标

x= 2x1x2 x1+x2 =2 y= 2(x1x2+2) x1+x2 =4-2k

，
所以点H所在的直线方程为x=2．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与曲线的位置关系，考查切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．