Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且

OP

⊥

OQ

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：

1

a2

+

1

b2

等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率e∈[

3

3

，

2

2

]时，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立方程组

b2x2+a2y2=a2b2 x+y-1=0

，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由△＞0推出a²+b²＞1，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

OP

•

OQ

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此能够推导出

1

a2

+

1

b2

=2．
（Ⅱ）由由、题高级条件能够推导出a2=

2-e2

2(1-e2)

=

1

2

+

1

2(1-e2)

，再由e∈[

3

3

，

2

2

]得a2∈[

5

4

，

3

2

]，由此能够推陈出新导出长轴长的取值范围．

解答：（1）证明：

b2x2+a2y2=a2b2 x+y-1=0

消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
△=4a⁴-4（a²+b²）a²（1-b²）＞0，a²+b²＞1
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，
由

OP

•

OQ

=0，x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0
化简得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
则

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
即a²+b²=2a²b²，故

1

a2

+

1

b2

=2
（Ⅱ）解：由e=

c

a

，b2=a2-c2，a2+b2=2a2b2
化简得a2=

2-e2

2(1-e2)

=

1

2

+

1

2(1-e2)

由e∈[

3

3

，

2

2

]得a2∈[

5

4

，

3

2

]，
即a∈[

5

2

，

6

2

]
故椭圆的长轴长的取值范围是[

5

，

6

]．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，具有一定的难度，解题时要细心解答，避免出现不必要的错误．