题目内容

已知函数 $数学公式$ ．且 $数学公式$ ，
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）求函数f（x）的最大值与取得最大值时x的集合；
（3）若 $数学公式$ ，求sin2α的值．

解：（1） $\text{[math]}$ =Asinx+cosx
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴A=1
∴f（x）=sinx+cosx= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）
令x+ $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ （k∈Z），可得x∈ $\text{[math]}$ （k∈Z）
即函数f（x）的单调减区间为 $\text{[math]}$ （k∈Z）；
（2）令x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得x= $\text{[math]}$ （k∈Z），此时求函数f（x）取到最大值 $\text{[math]}$ ；
（3）∵ $\text{[math]}$ ，
∴sinα+cosα= $\text{[math]}$
两边平方可得1+sin2α= $\text{[math]}$
∴sin2α=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用诱导公式及 $\text{[math]}$ ，求出函数解析式，从而可得函数f（x）的单调减区间；
（2）利用正弦函数的性质，可得函数f（x）的最大值与取得最大值时x的集合；
（3）由条件可得sinα+cosα= $\text{[math]}$ ，两边平方可得sin2α的值．
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，属于中档题．

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、已知函数，且，

（1）求实数a, b的值；

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